Tiling (betegelen) heeft te maken met het opvullen van een vlak door tegels. Er wordt gebruik gemaakt van een beperkt aantal verschillende soorten tiles (tegels) en er zijn speciale regels die bepalen welke types tiles tegen andere types tiles mogen worden gelegd. Simpele voorbeelden van tiles zijn rechthoeken, gelijkbenige driehoeken, hexagonen en ruitvormige tegels. Daarnaast zijn er non-periodieke tilings met als meest bekende voorbeeld de Penrose tiling.
Eenvoudige tilings worden gekenmerkt door operaties die de tiling onveranderd laten. Het vlak van een muur wordt opgebouwd uit stenen. Als de muur oneindig groot is dan zal een verplaatsing van de muur met een steen-lengte naar links of rechts weer hetzelfde patroon opleveren. De tiling van een muur heeft een translatie symmetrie. Op soortgelijke manier kan een tiling een rotatie symmetrie hebben of een spiegeling symmetrie. De bekendste groep voor twee-dimensionale tilings is de wallpaper group. Meer over deze groep (inclusief voorbeelden van plaatjes) is op wikipedia te vinden.
In de figuur hieronder staat een voorbeeld van een Penrose tiling
Een prachtige figuur. Zoals is te zien is de figuur opgebouwd uit slechts twee vormen, een dikke en een platte ruit (engels: rhomb(us) of diamond). De figuur wordt natuurlijk ook mooi door de keuze voor een bepaalde inkleuring van de ruiten. De inkleuring is hier op een consequente manier gedaaan: ruiten met dezelfde orientatie hebben steeds dezelfde kleur. Maar de kleuren zijn niet bepalend voor het al of niet voldoen aan de eisen van een Penrose-tiling. Ook een niet gekleurde vlakverdeling met de ruiten is een Penrose tiling. Door de kleuring denkt men soms op verschillende plaatsen dezelfde patronen te zien. En denkt men dat het mogelijk is om met een translatie symmetrie te maken te hebben. Als echter iets ruimer rond de gedachte symmetrie naar de daar staande ruiten kijkt ziet men echter steeds weer dat er verschillen zijn.
Er zijn ook Penrose tilings die niet gemaak worden met de twee ruitvormige tiles. Een andere is de invulling van een plat vlak met de twee figuren kite en dart. En de eerste door Penrose bedachte tiling was met een vijftal verschilende figuren: pentagonen, “diamonds”, boats en stars. Meer hierover is op wikipedia. En quadibloc is nog een andere site over (o.a.) penrose tilings.